ریاضییات گسسته و کاربردها

Download the book from here

ریاضیات گسسته یکی از شاخه‌های معاصر در ریاضیات است که به طور گسترده در تجارت و صنعت استفاده می‌شود. اغلب آن را ریاضیات کامپیوتر و یا ریاضیات استفاده شده در بهینه‌سازی سیستم‌های متناهی می‌نامند. موضوعات مورد بحث در ریاضیات گسسته طیف وسیعی از مباحث ریاضی (و البته کاربردی) را در بر می‌گیرند. موضوعاتی مانند روش‌های شمارش، نظریه گراف، رابطه‌های بازگشتی، جبر خطی، نظریه اعداد، نظریه مجموعه‌ها، منطق و اصول استنتاج و سایر مواردی که در حالت کلی در آنها نشانی از مفهوم حد و پیوستگی وجود ندارد.

ریاضیات گسسته مانند حساب دیفرانسیل و انتگرال نیست و همه چیز در آن شمارا (و اغلب متناهی) است. مسایلی زیادی وجود دارند که در زندگی روزمره با آنها برخورد می‌کنیم و برای یافتن پاسخ آنها نیاز به داشتن دانش حساب دیفرانسیل و انتگرال نیست؛ هر چند ممکن است در سطح پیشرفته برای حل مسایل از آنها نیز استفاده شود.

زبان استفاده شده در برنامه نویسی رایانه و نرم‌افزارها، همه به نوعی با منطق سر و کار دارند. دستوراتی که نوشته می‌شوند نیازمند ارزیابی و بررسی درستی منطق برنامه هستند. ابزاری مناسب برای این کار در دو فصل اول (و به طور مجردتر و کاربردی‌تر در فصل ششم کتاب) فراهم آمده است. فصل اول در مورد منطق گزاره‌ها و روش‌های مختلف استنتاج منطقی است. آنچه در این کتاب مطرح می‌شود تنها منطق متداول صفر-یک را شامل شده و از وارد شدن به بحث «منطق فازی» خودداری می‌کنیم. فصل دوم در باره نظریه مجموعه‌ها و ارتباط آنها با توابع و رابطه‌ها است. در ظاهر امر، این مطالب موضوعاتی کاملاً مجرد به نظر می‌رسند، ولی کاربرد بسیار وسیعی در سایر علوم مخصوصاً علوم رایانه و فناوری اطلاعات دارند. با توجه به نقش مهمی که دو فصل اول در این رشته‌ها دارند، شکل نسبتا کاملی از این مطالب جمع‌آوری شده و همراه با تمرینات متنوع بیان شده‌اند. دانشجویان رشته ریاضی با مطالب مطرح شده در این دو فصل‌ (و با دیدگاه ریاضی) در درسی مستقل (معمولاً با نام مبانی ریاضیات) آشنا می‌شوند. در حالی که دانشجویان رشته رایانه و فناوری اطلاعات تنها به صورت خیلی مختصر در دوره دبیرستان با آن برخورد می‌کنند. دانشجویان رشته ریاضی می‌توانند از مطالعه این فصول صرف نظر کرده و مستقیما با مطالب فصل سوم شروع کنند. گرچه روش‌های ارائه شده در این فصول نیز می‌توانند در افزایش توانایی این دانشجویان مفید باشند.

بسیاری از شاخه‌های علوم به پاسخ این سوال نیازمند هستند «چه تعداد؟». شاید سوالی مانند « آیا شماره تلفن‌های کافی برای تحویل خطوط تلفن، نمابر و تلفن همراه برای یک منطقه مشخص وجود دارد؟» نیز برای شما پیش آمده است. در نظریه احتمالات گسسته، لازم است بدانیم که تعداد حالت‌های مساعد یک پیشامد چند است. همچنین به تعداد تمامی اعضای فضای نمونه نیز نیاز داریم. {ترکیبیات} که به آن «ترکیبیات ریاضی» نیز می‌گویند حوزه‌ای از ریاضی است که با مساله انتخاب، ترتیب و عملیات در سیستم‌های متناهی و گسسته سر و کار دارد. هدف ترکیبیات «چگونه بدون شمردن بشماریم!» است. پاسخ‌ چنین سوالاتی را می‌توان از فصل سوم کتاب انتظار داشت. این فصل به بررسی روش‌های شمارش اختصاص یافته است. با اصول اولیه شروع کرده و در نهایت اصول پیشرفته شمارش مطرح می‌شوند.

سوالات دیگری نیز ممکن است در ذهن شما باشد.

• موثرترین مسیر برای برف‌روبی خیابان‌ها بعد از باریدن برف سنگین در شهر کدام است؛ یا به طور مشابه، بهترین مدل جمع‌آوری مناسب زباله شهری چیست؟

• بهترین راه برای برنامه‌ریزی هشت جلسه، به طوری که با هم تلاقی نداشته باشد، چیست؟ در اینجا فرض بر این است که تعدادی از افراد به طور مشترک باید در چندین جلسه شرکت کنند .

• چگونه می‌توان تمامی فعالیت‌هایی را که در یک پروژه (مانند پروژه ساختمانی) باید انجام گیرند برنامه‌ریزی و زمان‌بندی کرد تا در حداقل زمان به پایان برسد؟

برخی مسایل از این نوع را می‌توان در شاخه‌ای از ریاضی به نام «نظریه گراف» مشاهده کرد. مطالبی که در ظاهر امر به شکل مجرد مطرح می‌شوند، در حالی که نیازهای زندگی مدرن انگیزه‌ای بسیار قوی برای توسعه این شاخه از علم ایجاد کرده است.

برای آشنایی بیشتر با مساله‌ای در نظریه گراف، مثال ساده‌ای را مطرح می‌کنیم. با نقشه ایران آغاز می‌کنیم و می‌پرسیم: «آیا مشهد به تبریز (با دنباله‌ای از چند استان مجاور) متصل است؟» و البته پاسخ مثبت است. این سوال با مفهوم همبندی در گراف ارتباط دارد. اگر پرسیده شود که { کوتاه‌ترین مسیر } (حداقل تعداد استان‌ها که از آنها عبور می‌کنیم) کدام است، با بررسی تمامی مسیرها (و البته نه واقعاً همه آنها) پاسخی برای مساله پیدا می‌کنید. حال اگر برخی از مسیرهای بین استان‌ها به هر دلیلی مسدود باشد (مثلا راه بین استان زنجان و استان قزوین)، یافتن پاسخ قدری مشکل خواهد بود. برای پاسخ به چنین سوالاتی می‌توانیم از نظریه گراف و در شکل تکمیلی آن از بهینه‌سازی ترکیبیاتی استفاده کنیم.

فصل چهارم این کتاب مقدمه‌ای بر نظریه گراف‌ بوده، مفاهیم اولیه مطرح شده و کاربردهای ساده‌ای را بیان می‌کند. گراف‌های خاص مانند گراف های اولری و گراف‌های هامیلتونی و درخت‌ها و کاربردهای آنها در علوم مدرن، قسمت عمده این فصل را تشکیل می‌دهد. گراف‌های مسطح و مساله رنگ‌آمیزی مناسب گراف‌ها نیز در پایان فصل مطرح می‌شوند.

  سوالات دیگری نیز در  سایر  شاخه‌های علوم مطرح می‌شوند که ریاضیات گسسته، برای آنها پاسخ‌های مناسب و قانع کننده‌ای دارد. به عنوان مثال دو سوال بعدی  در رشته‌های علوم زیستی، جمعیت شناسی و اقتصاد مطرح هستند.

• دُز مناسب دارو برای یک بیماری و مقدار صحیح داروی خاص در بدن چقدر است تا متابولیسم لازم و سالم در بدن بیمار را انجام دهد؟

• چگونه می‌توان جمعیت در حال تغییر را مدل‌بندی کرده و تحلیل نمود؟ سوال مشابه در مورد پولی که باید سرمایه‌گذاری کرد، نیز مطرح است.

پاسخ چنین سوالاتی را از فصل پنجم کتاب، جایی که رابطه‌های بازگشتی مطرح شده‌اند، انتظار داریم. روش‌های مختلف مدل‌بندی مساله‌ها و ابزارهای ریاضی برای حل چنین معادلاتی در این فصل مطرح شده است. از جمله روش‌ها می‌توان به ابزار بسیار قدرتمند «تابع مولد» اشاره کرد.\bigskip

آنچه در دو فصل اول کتاب می‌بینید و روابط موجود در آنها، حالت خاصی از یک قالب ریاضی به نام «جبر بول» هستند. فصل ششم مقدمه‌ای بر جبر بول و کاربردهای آن است. در ادامه، کاربردی از آن در مبحث طراحی مدارهای منطقی و همچنین بهینه‌سازی آنها به طور مختصر بیان می‌شود.

نظریه میدان‌های متناهی و کاربرد آنها در فناوری اطلاعات ( کدگذاری و رمزنگاری) انگیزه‌ای بر آشنایی مختصر با مفاهیم اولیه در فصل هفتم است. ماتریس‌های هادامار و خصوصیات آنها، همچنین طرح‌های بلوکی به عنوان تعمیمی بر گراف‌ها نیز در این فصل مطرح می‌شوند. فصل پایانی کتاب مقدمه‌ای بر نظریه کدگذاری جبری و رمزنگاری است که به صورت پیشرفته‌تر پایه علم تبادل اطلاعات را ایجاد می‌کنند.

مباحث این کتاب برای تدریس در دوره‌های کارشناسی رشته‌های ریاضی، فناوری اطلاعات و علوم مهندسی طراحی شده‌اند. واضح است که این مطالب تنها جرعه‌ای از دریای بیکران علوم بوده و برای آشنایی اولیه و ایجاد انگیزه در خواننده می‌باشد. مطالب پیشرفته‌تر را از کتاب‌های تخصصی‌تر که در کتابنامه آورده شده‌اند، انتظار داریم. به عنوان مثال، یک مرجع مناسب و کاربردی کامل در ریاضیات گسسته است که اخیراً منتشر شده است.. منابع دیگری که در سطح کمی بالاتر و از دیدگاه ریاضی موضوع را بررسی می‌کند نیز وجود دارند (به عنوان مثال
را نگاه کنید). منابع دیگری نیز وجود دارند که مطالب تکمیلی در ریاضیات گسسته را مطرح می‌کنند (مانند
و. دانشجویان رشته علوم نرم‌افزار و سخت افزار و فناوری اطلاعات نیز می‌توانند از منابعی مانند که بیشتر جنبه کاربردی ریاضیات گسسته در حوزه خاص را مطرح می‌کنند استفاده نمایند. گردایه کاملی از فرمول‌های مورد استفاده در ریاضیات گسسته را نیز می‌توان در
مشاهده کرد.

ویرایش اول این کتاب در سال 1380 به همت انتشارات دانشگاه جامع امام حسین (ع) منتشر گردید. در طی 10 سال گذشته، در طی تدریس در رشته‌های مختلف علوم، کاستی‌هایی در کتاب مشاهده شد. از جمله می‌توان به غلط‌‌‌های چاپی که وجود داشت اشاره کرد. ویرایش دوم این کتاب با تغییراتی ارائه می‌شود. مزیت‌های ویرایش جدید را در چند مورد بیان می‌کنیم. فصل اول و دوم کتاب برای پوشش کامل درس ریاضیات گسسته در رشته فناوری اطلاعات به کتاب افزوده شده‌اند. علاوه بر آن، کتاب در نرم‌افزار ریاضی‌نویسی زی‌پرشین مجدداً تایپ شده است. این امر به یکنواختی فرمول‌ها و اَشکال و در نهایت، زیبایی متن افزوده است. برخی از تمرینات به کتاب اضافه شده و تعدادی نیز اصلاح شده‌اند. همچنین فصل جدیدی به عنوان «پاسخ تمرینات منتخب» نیز به کتاب افزوده شده است تا راهنمای مناسبی برای خوانندگان باشد. در پایان کتاب، علاوه بر تکمیل واژه‌نامه، نمایه موضوعی و نمایه نماد‌های استفاده شده نیز به کتاب اضافه شده تا دسترسی خوانندگان به موضوعات، سریع‌تر انجام گیرد. با این وجود، اذعان میکنیم که این ویرایش نیز خالی از اشکال نبوده و مشتاقانه منتظر رهنمودهای خوانندگان هستیم.

در پایان از تمامی کسانی که با گوشزد کردن ایرادات موجود در ویرایش قبلی و رهنمودهای خود، ما را در تکمیل این ویرایش یاری کرده‌اند، مخصوصاً دانشجویان گمنامی که در حین مطالعه کتاب، آنها را یادداشت کرده و به مولفان منتقل کرده‌اند، صمیمانه قدردانی می‌کنیم. از انتشارات دانشگاه جامع امام حسین (ع) که همواره در توسعه علوم پیشگام بوده و مسولیت چاپ ویرایش دوم کتاب را نیز پذیرفته‌اند، تشکر می‌نماییم.